2 球顶刃口曲线设计难点及解决方法

1. 螺旋刃口的设计难点
   
   令球头铣刀的球面方程为
   
   
   
   
   

   r=｛(R2-z2)½cosf，(R2-z2)½ sinf，z｝

   (1)

   式中：R———球面半径
   
   z，f———球面参数
   
   球面上与轴线成定角y 的刃口曲线应当满足微分方程
   
   
   
   
   

   (2)

   
   
   当R²tan²y-z²sec²y<0，即在z> Rsiny 时微分方程无实解，也即在此部分球面上设计不出与轴线成y 角的刃口曲线。
   
   
2. 后续平面刃口曲线
   
   由于在球头上z∈［Rsiny，R］的部分区域内设计不出与轴线成y 角的刃口曲线，因此只能用其它刃口曲线替代，最简单的方法是用平面刃口曲线替代。如要保证刃口曲线在连接点处的一阶导数连续，且前角相等，取z=Rsiny 的刃口曲线点作为连接点并不合适。由《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》可知，磨削沟槽时砂轮的轴向、径向进给速度分别为
   
   
   
   
   
   
   
   

   	(3)
   	(4)

   式中：r——沟槽底部所在的截圆半径
   
   w——刀体回转角速度
   
   
   
   
   

   图1 进给速度曲线

   图2 刃口曲线的截面

   
   
   由图1 所示速度变化曲线可知，当加工接近z=Rsiny 的沟槽时，进给速度v_z、v_g均趋于无穷大，这在实际制造中是无法实现的。因此，在选择连接点时，应离开z=Rsiny 一定距离，避免因进给速度剧变而给工程实现带来的困难，选取z=Rsin(y -y₀)(y₀>0)即可解决这一难题。
   
   下面的问题是求平面方程。虽然许多文献均提及这一问题，但均未给出数学模型，故简介如下：由《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》可求出z=Rsin(y-y₀)时得到的刃口点A的坐标( x₁，y₁，z₀)(如图2所示)以及A点刃口的切线向量为
   
   
   
   
   

   r1’=( x1’，y1’，z1’)

   (5)

   
   
   由A 点作Z 轴垂线交Z 轴于B 点，则B 点坐标为(0，0，z₀)，因此刃口所在平面除过A 点和切向量r₁’外，还需过与AB 成g 角的前刀面上的截线AC，由直角三角形ABC 中∠C=p/2，∠BAC=g(前角)可知，C 点坐标( x^*，y^*，z₀)满足方程组
   
   
   
   
   

   (6)

   由上述方程组求出x^*和y^*，则刃口所在平面方程为
   ｛x₁’，y₁’，z₁’｝×｛x^*-x₁，y^*-y₁，0｝×｛x-x₁，y-y₁，z-z₀｝=0即
   
   
   
   
   

   z1(’ y1-y*)( x-x1)+z1(’ x*-x1)( y-y1)+［ x1(’ y*-y1)-y1(’ x*-x1)］( z-z0)=0

   (7)

   
   
   平面方程(7)与球面方程(1)的交线即为刃口曲线。显然，这一刃口曲线既与原设计刃口在连接处连续，又对应前刀面有前角g。
   
   
3. 后续螺旋刃口曲线
   
   如许多文献所述，平面刃口不利于排屑，有文献提出用椭圆柱与球面交线作为刃口曲线的设想，其目的也是有利于排屑。为使本文不致过于冗长，这里仅对采用另外两种定义(与经线成定角和等螺距)的刃口曲线替代球头上z∈［Rsin(y-y₀)，R］部分刃口曲线的思路作一简介。
   
   事实上，《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》已给出了与经线成定角和等螺距两种刃口曲线的整套计算公式，因此关键在于连接点处的计算。这比采用平面刃口法更易处理，只需将点A( x₁，y₁，z₀)的参数f=f( z₀)设为求替代刃口曲线在该点相应参数f 时的积分初值即可，这相当于将与经线成定角(或等螺距)的螺旋线连接到已有的与轴线成定角的螺旋线上，由于前角一致，故可按《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》的相应方法进行加工，即可得到复合型的两段螺旋刃口及沟槽。

3 球顶刃口曲线的加工问题

4 计算机虚拟制造验证

5 结语